Как? Так! Ответы на популярные вопросы

Поделиться:

Как выразить показательную функцию через начальную величину и темп ее изменения

Содержимое:

2 метода:

Показательные функции описывают темп изменения многих величин, в том числе рост населения, радиоактивный распад, рост колонии бактерий, сложные проценты. Эта статья расскажет вам, как выразить показательную функцию через начальную величину и темп ее изменения.

1 Использование ставки в качестве основания степени

  1. 1 Рассмотрим пример. Начальная сумма на банковском счете составляет $1000, а кумулятивная годовая процентная ставка равна 3%. Запишите показательную функцию, описывающую процесс накопления на таком счете.
  2. 2 Основной вид показательной функции - f(t)=P(1+r)t/h, где P0 - начальная величина, t - временная переменная, r – процентная ставка, h – количество временных периодов (в переменной t).
  3. 3 В функцию подставьте значения начальной величины P и процентной ставки r. Вы получите функцию вида: f(t)=1000(1,03)t/h.
  4. 4 Найдите h. Каждый год вклад увеличивается на 3%, то есть он увеличивается на 3% каждые 12 месяцев. Так как вам нужно выразить t в месяцах, вы должны разделить t на 12; таким образом, t = 12. Вы получите функцию вида: f(t)=1000(1,03)t/12.

2 Использование «е» в качестве основания степени

  1. 1 Определения. «е» - это математическая константа (число Эйлера), примерно равная 2,72. Показательная функция, у которой в качестве основания выступает «е», называется экспоненциальной функцией.
  2. 2 Рассмотрим пример. Период полураспада изотопа углерода составляет 50 лет. (Период полураспада - время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается вдвое.) Запишите показательную функцию, описывающую процесс распада 500 г изотопа углерода.
  3. 3 Основной вид показательной функции - f(t)=aekt, где а - начальная величина, е – число Эйлера, k – некоторый коэффициент пропорциональности, t – временная переменная.
  4. 4 Подставьте значение начальной величины. Вы получите функцию вида: f(t)=500ekt.
  5. 5 Найдите коэффициент пропорциональности. Он характеризует темп изменения графика функции. Вы знаете, что через 50 лет останется 250 г изотопа углерода. То есть, если t = 50, то f(50) = 250. Подставьте эти значения в функцию, запишите показательное уравнение и решите его: 250=500e50k. Сначала разделите обе части уравнения на 500 и вы получите: 1/2=e50k. Теперь возьмите натуральный логарифм от обеих сторон уравнения: ln(1/2)=50k(ln(e)) (согласно свойствам логарифмов, показатель аргумента логарифма можно вынести за знак логарифма, то есть ln e50k = 50k(ln(e))). Далее, согласно свойствам логарифмов, логарифм с равными аргументом и основанием равен 1, то есть ln e = 1. Таким образом, уравнение упрощается до: ln(1/2) = 50k, и k = (ln(1/2))/50 ≈ -0,01386. Обратите внимание, что это отрицательное значение. Если коэффициент отрицательный, то это функция убывает; в противном случае функция возрастает.
  6. 6 Подставьте значение k. Окончательный вид функции:
    • f(t)=500e-0,01386t.

Советы

  • Для получения точных значений функции сохраните значение k в калькуляторе (точное значение, а не округленное). При построении графика не перепутайте независимую переменную – в описанных примерах она обозначается как «t».
  • Вы быстро научитесь определять ситуации, соответствующие одной из вышеописанных функций. Как правило, задачу легче решить, воспользовавшись первой функцией, но бывают случаи, когда необходимо использовать экспоненциальную функцию.
Прислал: Давыдова Юлия . 2017-11-05 17:01:28
Поделиться: