Как? Так! Ответы на популярные вопросы

Поделиться:

Как найти уравнения асимптот гиперболы

Содержимое:

2 метода:

Асимптоты гиперболы – это прямые, проходящие через центр гиперболы. Гипербола приближается к асимптотам, но никогда не пересекает (и даже не касается) их. Найти уравнения асимптот можно двумя способами, которые помогут понять саму концепцию асимптот.

1 Разложение на множители

  1. 1 Запишите каноническое уравнение гиперболы. Рассмотрим простейший пример – гиперболу, центр которой расположен в начале координат. В этом случае каноническое уравнение гиперболы имеет вид: x2/a2 - y2/b2 = 1 (когда ветви гиперболы направлены вправо или влево) или y2/b2 - x2/a2 = 1 (когда ветви гиперболы направлены вверх или вниз). Имейте в виду, что в этом уравнении «х» и «у» – это переменные, а «а» и «b» – постоянные (то есть числа).
    • Пример 1: x2/9 - y2/16 = 1
    • Некоторые преподаватели и авторы учебников меняют местами постоянные «а» и «b». Поэтому изучите данное вам уравнение, чтобы понять, что к чему. Не стоит просто запоминать уравнение – в этом случае вы ничего не поймете, если переменные и/или постоянные будут обозначены другими символами.
  2. 2 Приравняйте каноническое уравнение к нулю (а не к единице). Новое уравнение описывает обе асимптоты, но чтобы получить уравнение каждой асимптоты, придется приложить некоторые усилия.
    • Пример 1: x2/9 - y2/16 = 0
  3. 3 Разложите на множители новое уравнение. Разложите на множители левую часть уравнения. Вспомните, как раскладывать на множители квадратное уравнение, и читайте дальше.
    • Конечное уравнение (то есть уравнение, разложенное на множители) будет иметь вид (__ ± __)(__ ± __) = 0.
    • При перемножении первых членов (внутри каждой пары скобок) должен получиться член x2/9, поэтому из этого члена извлеките квадратный корень, и результат запишите вместо первого пробела внутри каждой пары скобок:(x/3 ± __)(x/3 ± __) = 0
    • Аналогично извлеките квадратный корень из члена y2/16, и результат запишите вместо второго пробела внутри каждой пары скобок: (x/3 ± y/4)(x/3 ± y/4) = 0
    • Вы нашли все члены уравнения, поэтому внутри одной пары скобок между членами напишите знак плюс, а внутри второй – знак минус, чтобы при перемножении соответствующие члены сокращались: (x/3 + y/4)(x/3 - y/4) = 0
  4. 4 Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y». Так вы найдете два уравнения, которые описывают каждую асимптоту.
    • Пример 1: Так как (x/3 + y/4)(x/3 - y/4) = 0, то x/3 + y/4 = 0 и x/3 - y/4 = 0
    • Перепишите уравнение следующим образом: x/3 + y/4 = 0y/4 = - x/3y = - 4x/3
    • Перепишите уравнение следующим образом: x/3 - y/4 = 0- y/4 = - x/3y = 4x/3
  5. 5 Выполните описанные действия с гиперболой, уравнение которой отличается от канонического. В предыдущем шаге вы нашли уравнения асимптот гиперболы с центром в начале координат. Если центр гиперболы находится в точке с координатами (h,k), то она описывается следующим уравнением: (x - h)2/a2 - (y - k)2/b2 = 1 или (y - k)2/b2 - (x - h)2/a2 = 1. Это уравнение также можно разложить на множители. Но в этом случае не трогайте двучлены (x - h) и (y - k) до тех пор, пока не придете к последнему шагу.
    • Пример 2: (x - 3)2/4 - (y + 1)2/25 = 1
    • Приравняйте это уравнение к 0 и разложите его на множители:
    • ((x - 3)/2 + (y + 1)/5)((x - 3)/2 - (y + 1)/5) = 0
    • Приравняйте каждый двучлен (то есть выражение внутри каждой пары скобок) к нулю и вычислите «y», чтобы найти уравнения асимптот:
    • (x - 3)/2 + (y + 1)/5 = 0 → y = -5/2x + 13/2
    • ((x - 3)/2 - (y + 1)/5) = 0 → y = 5/2x - 17/2

2 Вычисление Y

  1. 1 Обособьте член y2 на левой стороне уравнения гиперболы. Применяйте этот метод в том случае, когда уравнение гиперболы дано в квадратичной форме. Даже если дано каноническое уравнение гиперболы, этот метод позволит лучше понять концепцию асимптот. Обособьте y2 или (y - k)2 на левой стороне уравнения.
    • Пример 3: (y + 2)2/16 - (x + 3)2/4 = 1
    • К обеим частям уравнения прибавьте «х», а затем умножьте обе части на 16:
    • (y + 2)2 = 16(1 + (x + 3)2/4)
    • Упростите полученное уравнение:
    • (y + 2)2 = 16 + 4(x + 3)2
  2. 2 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения. При этом не упрощайте правую часть уравнения, так как при извлечении квадратного корня получаются два результата – положительный и отрицательный (например, -2 * -2 = 4, поэтому √4 = 2 и √4 = -2). Чтобы привести оба результата, используйте символ ±.
    • √((y + 2)2) = √(16 + 4(x + 3)2)
    • (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)2)
  3. 3 Уясните понятие асимптоты. Сделайте это до того, как перейти к следующему шагу. Асимптота – это прямая, к которой приближается гипербола с ростом значений «х». Гипербола никогда не пересечет асимптоту, но с увеличением «х» гипербола приблизится к асимптоте на бесконечно малое расстояние.
  4. 4 Преобразуйте уравнение с учетом больших значений «х». Как правило, при работе с уравнениями асимптот учитываются только большие значения «х» (то есть такие значения, которые стремятся к бесконечности). Поэтому в уравнении можно пренебречь определенными константами, так как по сравнению с «х» их вклад невелик. Например, если переменная «х» равна нескольким миллиардам, то прибавление числа (константы) 3 окажет мизерное влияние на значение «х».
    • В уравнении (y+2) = ± √(16 + 4(x + 3)2) при стремлении «x» к бесконечности постоянной 16 можно пренебречь.
    • При больших значениях «х» (y+2) ≈ ± √(4(x + 3)2)
  5. 5 Вычислите «у», чтобы найти уравнения асимптот. Избавившись от констант, можно упростить подкоренное выражение. Помните, что в ответе нужно записать два уравнения – одно со знаком плюс, а второе со знаком минус.
    • y + 2 = ±√(4(x+3)^2)
    • y + 2 = ±2(x+3)
    • y + 2 = 2x + 6 и y + 2 = -2x - 6
    • y = 2x + 4 и y = -2x - 8

Советы

  • Помните, что уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот всегда включают постоянные (константы).
  • Равносторонняя гипербола – это гипербола, в уравнении которой а = b = с (константа).
  • Если дано уравнение равносторонней гиперболы, сначала преобразуйте его в каноническую форму, а затем найдите уравнения асимптот.

Предупреждения

  • Помните, что ответ не всегда записывается в канонической форме.
Прислал: Беляева Екатерина . 2017-11-06 17:28:18
Поделиться: