Как? Так! Ответы на популярные вопросы

Поделиться:

Как найти площадь пятиугольника

Содержимое:

3 метода:

Пятиугольник – это многоугольник, у которого пять углов. В подавляющем большинстве задач вы столкнетесь с правильным пятиугольником, у которого все стороны равны. Есть два основных способа нахождения площади пятиугольника (в зависимости от известных вам величин).

1 Вычисление площади по известной стороне и апофеме

  1. 1 Даны сторона и апофема. Этот метод применим к правильным пятиугольникам, у которых все стороны равны. Апофема – это отрезок, соединяющий центр пятиугольника и середину любой из его сторон; апофема всегда перпендикулярна стороне пятиугольника.
    • Не путайте апофему с радиусом описанной окружности. Такой радиус – это отрезок, соединяющий центр пятиугольника с его вершиной (а не серединой стороны). Если вам дана сторона и радиус описанной окружности, перейдите к следующей главе.
    • Например, дан пятиугольник со стороной 3 см и апофемой 2 см.
  2. 2 Разделите пятиугольник на пять равных треугольников. Для этого соедините центр пятиугольника с каждой из его вершин.
  3. 3 Вычислите площадь треугольника. Основание каждого треугольника – это сторона пятиугольника, а высота каждого треугольника – это апофема пятиугольника. Для вычисления площади треугольника перемножьте половину основания и высоту, то есть площадь = ½ х основание х высоту.
    • В нашем примере площадь треугольника = ½ х 3 х 2 = 3 квадратных сантиметра.
  4. 4 Умножьте найденную площадь треугольника на 5, чтобы вычислить площадь пятиугольника. Это верно, так как мы разделили пятиугольник на пять равных треугольников.
    • В нашем примере площадь пятиугольника = 5 х площадь треугольника = 5 х 3 = 15 квадратных сантиметров.

2 Вычисление площади по известной стороне

  1. 1 Дана сторона. Этот метод применим к правильным пятиугольникам, у которых все стороны равны.
    • Например, дан пятиугольник со стороной 7 см.
  2. 2 Разделите пятиугольник на пять равных треугольников. Для этого соедините центр пятиугольника с каждой из его вершин.
  3. 3 Разделите треугольник пополам. Для этого из вершины треугольника, которая лежит в центре пятиугольника, опустите перпендикуляр к противоположной стороне треугольника, которая равна стороне пятиугольника. Вы получите два равных прямоугольных треугольника.
  4. 4 Дайте обозначения одному из прямоугольных треугольников.
    • Основание прямоугольного треугольника – это половина стороны пятиугольника. В нашем примере основание равно ½ х 7 = 3,5 см.
    • Угол вокруг центра пятиугольника равен 360˚. Разделив пятиугольник на пять равных треугольников, а потом разделив каждый треугольник пополам, вы делите угол вокруг центра пятиугольника на 10 равных частей, то есть угол прямоугольного треугольника, противолежащий основанию, равен 360°/10 = 36˚.
  5. 5 Вычислите высоту треугольника. Высота прямоугольного треугольника равна его катету, отличному от основания. Используйте , чтобы найти высоту треугольника.
    • В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне.
    • В нашем примере для угла в 36˚ противолежащей стороной является основание, а прилежащей – высота.
    • tg 36˚ = противолежащая сторона/прилежащая сторона
    • В нашем примере tg 36˚ = 3,5/высота
    • Высота х tg 36˚ = 3,5
    • Высота = 3,5/tg 36˚
    • Высота = 4,8 см (примерно)
  6. 6 . Площадь треугольника = ½ х основание х высота (А = ½bh). Зная основание и высоту, вы можете найти площадь прямоугольного треугольника.
    • В нашем примере площадь прямоугольного треугольника = ½bh = ½(3,5)(4,8) = 8,4 квадратных сантиметров.
  7. 7 Умножьте найденную площадь прямоугольного треугольника на 10, чтобы вычислить площадь пятиугольника. Это верно, так как мы разделили пятиугольник на десять равных прямоугольных треугольников.
    • В нашем примере площадь пятиугольника равна 8,4 х 10 = 84 квадратных сантиметра.

3 Формулы

  1. 1 Даны периметр и апофема. Апофема – это отрезок, соединяющий центр пятиугольника и середину любой из его сторон; апофема всегда перпендикулярна стороне пятиугольника.
    • А = ра/2, где р – периметр, а – апофема.
    • Если дана сторона, вычислите периметр правильного пятиугольника по формуле: р = 5s, где s – сторона пятиугольника.
  2. 2 Дана сторона. Если дана только сторона пятиугольника, используйте следующую формулу:
    • А = (5s2) / (4tg36˚), где s – сторона пятиугольника.
    • tg36˚ = √(5-2√5). Если вы не можете найти значение тангенса угла в 36˚, используйте следующую формулу: А = (5s2) / (4√(5-2√5)).
  3. 3 Дан радиус описанной окружности. В этом случае для вычисления площади пятиугольника используйте следующую формулу:
    • A = (5/2)r2sin72˚, где r – радиус описанной окружности.

Советы

  • Сложнее работать с неправильным пятиугольником (это пятиугольник, стороны которого имеют разную длину). В этом случае разделите пятиугольник на треугольники, найдите их площади и сложите значения площадей. Вы также можете обрисовать пятиугольник правильной фигурой, вычислить ее площадь, а затем вычесть площадь дополнительного пространства.
  • Формулы, полученные геометрическим путем, аналогичны формулам, которые описаны в этой статье. Подумайте, сможете ли вы вывести эти формулы. Формулу, включающую радиус описанной окружности, вывести труднее (намек: рассматривайте удвоенный угол при центре пятиугольника).
  • Приведенные в этой статье примеры используют округленные значения, чтобы упростить вычисления. Если вы работаете с реальным многоугольником, то вы получите другие результаты для других длин и площадей.
  • Если возможно, вычислите площадь пятиугольника, используя оба описанных метода. Затем сравните результаты, чтобы подтвердить правильность ответа.
Прислал: Фомина Анастасия . 2017-11-06 17:23:51
Поделиться: